个 人 学 习 记 录 时 间 轴 发 展 史 概 率 论 与 数 理 统 计 学 习 记 录 时 间 轴 2 0 1 9 年 1 2 月 5 日 公 式 记 录   同 样 地 ， B a y e s 公 式 推 导 也 很 简 单 ， 但 是 却 有 着 丰 富 的 含 义 。 B a y e s 公 式 描 述 的 是 一 个 “ 学 习 ” 与 “ 逆 推 ” 的 过 程 ， [ 公 式 ] 可 以 看 作 是 诱 发 了 事 件 [ 公 式 ] 的 原 因 ， [ 公 式 ] 就 代 表 了 每 个 原 因 可 能 发 生 的 概 率 ， 是 我 们 先 天 便 已 经 具 备 的 知 识 ， 称 为 先 验 概 率 。 而 当 发 生 了 事 件 [ 公 式 ] 后 ， 我 们 对 引 发 其 的 原 因 会 产 生 新 的 认 识 ， 便 就 是 [ 公 式 ] ， 称 为 后 验 概 率 。 我 们 拿 着 先 天 的 经 验 或 知 识 来 进 行 实 践 ， 得 到 结 果 后 又 反 过 来 用 来 更 新 那 些 我 们 本 来 具 有 的 经 验 知 识 ， 重 复 这 一 过 程 我 们 就 可 以 越 来 越 靠 近 真 理 ， 这 便 是 B a y e s 公 式 表 现 出 的 “ 学 习 性 ” 的 含 义 。 1 2 月 7 日 全 概 公 式 ， B a y e s 公 式   全 概 率 公 式 也 可 以 理 解 为 [ 公 式 ] 提 供 了 事 件 [ 公 式 ] 的 一 个 两 两 不 交 的 划 分 ， 所 以 [ 公 式 ] 发 生 的 概 率 就 被 拆 成 了 [ 公 式 ] 个 小 块 的 概 率 之 和 。 全 概 公 式 看 上 去 简 单 ， 实 际 非 常 常 用 。 比 如 ： 抽 签 的 公 平 性 就 可 以 用 全 概 公 式 加 以 证 明 。 例 ： （ 抽 签 公 平 性 ） [ 公 式 ] 个 球 ， [ 公 式 ] 个 黑 ， 剩 下 全 为 白 ， 球 除 了 颜 色 外 没 有 任 何 差 别 。 求 证 ： 无 放 回 地 依 次 抽 取 球 ， 每 一 次 抽 中 黑 球 的 概 率 都 是 [ 公 式 ] 。 2 0 1 9 年 1 2 月 8 日 事 件 的 独 立 性   独 立 性 ， 顾 名 思 义 ， 指 的 是 两 个 事 件 相 互 不 产 生 影 响 。 换 句 话 说 ， 可 以 理 解 为 有 无 [ 公 式 ] 事 件 发 生 作 为 条 件 都 不 影 响 [ 公 式 ] 事 件 发 生 的 概 率 。 我 们 有 必 要 区 分 两 两 独 立 和 相 互 独 立 的 概 念 。 事 实 上 ， 相 互 独 立 则 必 定 两 两 独 立 ， 但 是 反 之 不 成 立 。 1 2 月 9 日 条 件 概 率 、 乘 法 公 式   考 虑 如 下 问 题 ： 掷 一 次 骰 子 ， 已 知 投 掷 出 的 点 数 为 偶 数 ， 求 投 出 2 的 概 率 。 我 们 注 意 到 在 附 加 了 “ 投 掷 出 的 点 数 为 偶 数 ” 的 条 件 后 ， 利 用 古 典 概 型 时 ， 事 件 “ 投 出 2 ” 并 未 改 变 。 变 化 的 是 样 本 空 间 ， 它 被 缩 小 了 。 所 以 条 件 概 率 的 本 质 其 实 是 对 样 本 空 间 的 限 制 。 2 0 1 9 年 1 2 月 8 日 概 率 的 性 质   关 于 概 率 的 连 续 性 ， 可 能 是 我 们 较 为 陌 生 的 方 面 ， 但 是 十 分 重 要 ！ 1 2 月 9 日 概 率 空 间   本 章 若 对 概 率 空 间 的 系 统 化 定 义 没 有 兴 趣 可 以 跳 过 在 数 学 分 析 中 ， 我 们 在 多 重 积 分 的 可 积 性 理 论 处 对 体 积 有 过 定 义 ， 也 曾 证 明 过 一 些 体 积 的 性 质 。 此 处 不 加 证 明 地 直 接 给 出 。 此 处 再 次 提 醒 ： 下 文 的 “ 测 度 ” 均 不 是 严 格 意 义 上 的 测 度 ， 仅 是 代 指 体 积 ！ 2 0 2 0 年 5 月 9 日 几 何 概 型   容 易 看 出 古 典 概 型 的 三 条 性 质 对 几 何 概 型 也 成 立 。 关 于 几 何 概 型 比 较 经 典 的 应 用 ， 不 得 不 提 到 等 待 相 遇 问 题 。 例 ： 两 人 某 天 1 点 到 2 点 之 间 等 可 能 地 在 随 机 时 间 到 达 某 地 点 会 面 且 两 人 的 到 达 时 间 相 互 不 影 响 ， 先 到 者 等 2 0 m i n 后 离 去 ， 求 两 人 能 相 遇 的 概 率 。 5 月 1 0 日 下 午 1 4 : 0 0 古 典 概 型 ， 概 率 空 间 以 及 一 些 基 本 定 理   可 能 很 多 人 看 到 这 里 都 会 认 为 将 事 件 用 集 合 来 严 谨 地 定 义 没 有 必 要 。 事 实 上 ， 这 是 我 们 稍 后 定 义 事 件 域 ， 定 义 概 率 测 度 等 等 一 切 的 基 础 。 既 然 我 们 知 道 了 事 件 的 本 质 是 集 合 ， 自 然 地 ， 我 们 会 想 到 集 合 之 间 可 以 进 行 运 算 ， 那 么 事 件 之 间 也 可 以 进 行 运 算 。 在 此 我 们 不 详 细 地 展 开 ， 只 提 及 日 后 比 较 常 用 且 重 要 的 事 件 之 间 的 运 算 。 粤 I C P 备 2 0 0 5 2 8 8 7 号                

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